题型攻略
一、工程问题
核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。
1. 当题目只给定工作时间时，一般通过赋值工作总量为工作时间的公倍数(或最小公倍数)，或通过时间寻找效率之间的比例关系进行赋值。
2. 当题目中不仅给定工作时间，还给出与效率相关的某个逻辑关系时，一般优先寻找效率之间的比例关系进行赋值，再求工作总量，最终求出相应结果。
3. 当题目的已知条件中包含工作时间、工作效率或工作总量中两个(或三个)量的数据时，一般优先通过设某个量为未知数，利用方程法进行求解。
【例题】单独完成某项工程，甲队需要36天，乙队需要30天，丙队需要32天，如果安排合作施工，按照甲乙、乙丙、丙甲、甲乙……的顺序按天轮转，问完成这项工作时，甲工作了多少天?
A.11天整 B.11天多
C.12天整 D.12天多
【答案】A
【解析】赋值工程总量为30、32、36的公倍数1440，则甲乙丙效率分别为40、48、45，由题意每三天的效率之和为2×(40+48+45)=266，需要1440÷266=5……110个三天，前5个三天甲工作了10天，最后110的工作量在第二天即可完成，所以甲只需再工作1天，因此甲一共工作了11天整，选择A。
二、经济利润问题
(一)经济利润相关公式：
1. 利润=单价-成本;期望利润=定价-成本;实际利润=售价-成本;
2. ;
3. 售价=定价×折扣(“二折”即售价为定价的20%);
4. 总售价=单价×销售量;总利润=单件利润×销售量。
(二)分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。
三、行程问题
(一)基本行程公式：s=v·t。
(二)相遇追及问题：
1. 相遇距离s=(v1+v2)×t相遇时间
2. 追及距离s=(v1-v2)×t追及时间
3. 直线型两端出发n次相遇，共同行走距离=(2n-1)×两地初始距离;
4. 直线型单端出发n次相遇，共同行走距离=(2n)×两地初始距离;
环线型n次相遇，共同行走的距离=n×环线长度。
(三)流水行船问题：
顺流航程s=(v船+v水)×t顺流时间
逆流航程s=(v船-v水)×t逆流时间
(四)等距离平均速度：v平均=(其中v1、v2分别为往返速度)
(五)沿途数车问题：
发车时间间隔;(其中t1和t2分别代表迎面来一辆车所需时间和从身后超过一辆车所需时间)
四、容斥问题
(一)基本公式
1. 两集合A和B之间的关系：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |
满足条件A或B的情况数=满足A的情况数+满足B的情况数-两个条件都满足的情况数
2. 三集合A、B和C之间的关系：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|
(二)解题技巧——画图法
1. 标数时，注意由中间向外围标记;
2. 图示中每一部分都有自己的含义，标数切不可写错;
3. 注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分，及“三个条件都不满足”的情形。
(三)多集合反向构造
题中给出多个集合，问题中出现“至少……都……”的情况下，一般采用逆向思考，利用极端情况来解题，解题步骤为反向、求和、做差。
五、排列组合问题
(一)基本公式
排列公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
组合公式：
(二)解题技巧
1. 捆绑法：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体，再与其他元素一起进行排列;
2. 插空法：如果题目要求一部分元素不能在一起，则需要先排列其他主体，然后把不能在一起的元素插空到已经排列好的元素中间。
3. 反向法：某种情况下的计算较多且复杂，则优先从反面情况考虑，再用总情况数减去反面情况数，最终求出结果。
4. 插板法：如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。
5. 环形排列：如果n个元素围成一圈排列，则会出现重复排列，转换为(n-1)人的线型排列进行讨论。
6. 错位排列：有n个元素和n个位置，如果要去每个元素的位置与元素本身的序号都不同，则n个元素对应的排列情况分别为，D1=0种，D2=1种，D3=2种，D4=9种，D5=44种，……Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)种。
7. 枚举法：将有可能出现的情况，一一列举。
六、几何问题
(一)常考公式
圆形周长C圆=2πR
圆形面积S圆=πR2
三角形面积S三角形=ah
梯形面积S梯形=(a+b)h
长方体的表面积=2ab+2bc+2ac
正方体的体积=a3
球的体积=πR3=πD3
圆柱体的体积=πR2h
圆锥体的体积=πR2h
注：凡是遇到不规则图形，都要从特殊的点处，进行割补平移，转换为规则图形，因为只有规则图形，我们才能利用公式进行计算。
(二)常考性质
1. 三角形不等式性质
在三角形三边中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2. 等比例放缩性质
若一个几何图形尺度变为原来的m倍，则长度变为原来的m倍，面积变为原来的m2倍，体积变为原来的m3倍。
注：当m>1时，尺度在按比例放大;当m<1时，尺度在按比例缩小。
七、最值问题
(一)抽屉原理
题目中出现“至少(最少)……保证……”时，答案=最不利的情形情况数+1。
(二)数列构造
题目中出现“最多(少)……最少(多)……”“排名第……最多(少)……”时，优先构造一个满足题目要求的数列，解题步骤为：定位、构造、加和。
【例题】甲、乙、丙、丁四个队参加五项比赛，每项第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名不得分，已知甲队获得了3次第一名，乙队获得了3次第二名，那么得分最少的队的分数不可能超过( )分。
A.5 B.6
C.7 D.8
【答案】C
【解析】本题考查最值问题，属于数列构造类。
5场比赛总分为(3+2+1+0)×5=30(分)，平均每队得分为
(分)。
甲队获得了3次第一名，甲最少得3×3=9(分)，高于平均得分，不可能为得分最少的队;乙队获得了3次第二名，乙最少得2×3=6(分)，低于平均得分，有可能为得分最少的队。
“不可能超过”意味着得分最少的队得分应尽量高，总分一定，则其他队伍得分应尽可能低。乙、丙、丁均有可能为得分最少的队伍，设其得分均为x，构造9、x、x、x的数列，则9+x+x+x=30，解得x=7分。
因此，选择C选项。
八、时间问题
(一)日期问题
1. 平年365天，闰年366天。
2. 大月为：1、3、5、7、8、10、12月(每月均为31天);小月为：4、6、9、11月(每月30天);2月平年28天、闰年29天。
3. 闰年判别法则：非世纪年整除4为闰年，世纪年整除400为闰年。(世纪年指年份末两位为00的年份)
(二)钟表问题
1. 表盘一周为360°，分针的旋转速度为6°/分钟，时针的旋转速度为0.5°/分钟;并且时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。
2. 时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
(三)年龄问题
1. 过N年，每人都长N岁;
2. 两个人的年龄差在任何时间节点都不发生改变。
九、数列问题
(一)等差数列
特征：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
通项公式：an=a1+(n-1)d
十、趣味问题
(一)牛吃草问题
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。
核心公式：草地原有草量=(牛数—每天长草量)×天数
【例题】某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。问如果同时开7个入场口需几分钟?
A.18分钟 B.20分钟
C.22分钟 D.25分钟
【答案】D
【解析】本题考查牛吃草问题。
设检票口原有观众y人，每分钟到达观众x人，每个检票口每分钟可检1人，根据牛吃草公式可得：y=(4-x)×50，y=(6-x)×30，解得x=1，y=150。设同时开7个入场口需T分钟检完，则150=(7-1)×T，解得T=25分钟。
因此，选择D选项。
(二)鸡兔同笼
典型题目：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔?
解题关键：假设法
假设全是鸡：2×35=70(只)
鸡脚比总脚数少：94-70=24 (只)
兔子比鸡多的脚数：4-2=2(只)
兔子的只数：24÷2=12 (只)
鸡的只数：35-12=23(只)
(三)空瓶换酒问题
在空瓶换酒问题中，一般将“M个空瓶换N瓶酒”转化为“(M-N)个空瓶来换N个(无瓶)酒”来完成答题。
【例题】超市规定每3个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?
A.5瓶 B.4瓶
C.3瓶 D.2瓶
【答案】A
【解析】本题考查空瓶换酒问题。
3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，由于换回来的汽水是自带一个空瓶的，所以相当于用了2个空瓶换来了一瓶不带瓶的汽水。于是，小李的11个空汽水瓶，最多可以换11÷2=5.5(瓶)汽水，而这5.5瓶汽水是纯粹的汽水，是不带瓶的。
因此，选择A选项。
(四)边端计数问题
单边线型植树公式：棵数=总长÷间隔+1;总长=(棵数-1)×间隔
单边环型植树公式：棵数=总长÷间隔;总长= 棵数×间隔
单边楼间植树(锯木、爬楼)公式：棵数=总长÷间隔-1;总长=(棵数+1)×间隔
